Question

18．有n個數，第一個記為a₁，第二個記為a₂，…，第n個記為a_n，若a₁=$\frac{1}{2}$，且從第二個數起，每個數都等于“1與它前面那個數的差的倒數”．即a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$，…，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據（1）的計算結果，請你猜想并寫出a₂₀₁₆，a₂₀₁₇的值；
（3）求a₁×a₂×a₃×…×a₂₀₁₅×a₂₀₁₆×a₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （1）根據數列中數的特性結合a₁=$\frac{1}{2}$，即可求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據a₄=a₁即可得出該數列每三個一循環，依此規律即可求出a₂₀₁₆，a₂₀₁₇的值；
（3）結合（1）（2）代入數據即可求出結論．

解答 解：（1）a₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，a₃=$\frac{1}{1-2}$=-1，a₄=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a₄=a₁，
∴該數列每三個一循環．
∵2016=3×672，2017=3×672+1，
∴a₂₀₁₆=a₃=-1，a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$．
（3）原式=$\frac{1}{2}$×2×（-1）×…×2×（-1）×$\frac{1}{2}$，
=（-1）⁶⁷²×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了規律型中數字的變化類，根據數列中數的變化找出變化規律是解題的關鍵．