Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，在長方形OABC中，點A(10，0)，C(0，4)，D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】點P的坐標為(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．

【解析】試題分析：由矩形的性質得出∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，求出OD＝AD＝5，分情況討論：①當PO＝PD時；②當OP＝OD時；③當DP＝DO時；根據線段垂直平分線的性質或勾股定理即可求出點P的坐標．

試題解析：解：∵四邊形OABC是長方形，

∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.

∵D為OA的中點，

∴OD＝AD＝5.

①當PO＝PD時，點P在OD的垂直平分線上，

∴點P的坐標為(2.5，4)．

②當OP＝OD時，如解圖①所示．

則OP＝OD＝5，PC＝＝3，

∴點P的坐標為(3，4)．

①

③當DP＝DO時，過點P作PE⊥OA于點E，

則∠PED＝90°，DE＝＝3.

分兩種情況討論：當點E在點D的左側時，如解圖②所示．

②

此時OE＝5－3＝2，

∴點P的坐標為(2，4)．

當點E在點D的右側時，如解圖③所示．

③

此時OE＝5＋3＝8，

∴點P的坐標為(8，4)．

綜上所述，點P的坐標為(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．