Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)P₀繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P₁，延長(zhǎng)OP₁，到點(diǎn)P₂，使OP₂=2OP₁；再將點(diǎn)P₂繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P₃，延長(zhǎng)OP₃，到P₄，使OP₄=2OP₃；如此繼續(xù)下去，求：
（1）點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P₂₀₁₀的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）做P₂⊥x軸于一點(diǎn)，利用30°的三角函數(shù)可求得P₂的橫縱坐標(biāo)．
（2）應(yīng)先找到各個(gè)點(diǎn)所在的象限或者坐標(biāo)軸的位置．相鄰的以奇數(shù)開頭的兩個(gè)點(diǎn)在同一直線上，可得到24個(gè)點(diǎn)將轉(zhuǎn)一圈：即回到x軸．那么應(yīng)讓2010÷24=83…18可得所求的點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，利用OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，則OP₂₀₁₀=2¹⁰⁰⁵，進(jìn)而可得點(diǎn)P₂₀₁₀的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)P₂的坐標(biāo)為（x，y），作P₂M⊥x軸，垂足為M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=

3

，
∴P₂的坐標(biāo)為（

3

，1）；

（2）∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，
∴OP₂₀₁₀=2¹⁰⁰⁵，
∵每24個(gè)點(diǎn)將轉(zhuǎn)一圈回到x軸，
∴2010÷24=24×83+18．
∴點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上．
∴P坐標(biāo)為（0，-2¹⁰⁰⁵）．
∴P₂₀₁₀的坐標(biāo)是（0，-2¹⁰⁰⁵）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)作圖，分析，觀察，得到相應(yīng)的規(guī)律．