Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，O是AD的中點，動點E在線段AB上，連接EO并延長交射線CD于點F，過O作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG．
（1）判斷△GEF的形狀，并說明理由；
（2）設AE=x，△GEF的面積為y，求y關于x的函數關系式；
（3）在點E運動的過程中，△GEF能否是等邊三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD是正方形，所以正方形的四個邊相等且對邊平行，四個角都是直角，很容易證明△AME≌△DMF，從而可得出結論．
（2）設AE=x時，△EGF的面積為y，有兩種情況，當點E與點A重合時，即x=0時，可求出y的值，當點E不與點A重合時，0＜x≤4，根據條件可證明Rt△AEM∽Rt△NGM，根據相似三角形的對應邊成比例，可得出函數式．
（3）不可能，因為EF=MG，EG＞MG所以EG＞EF，所以不可能是等邊三角形．

解答：（1）等腰三角形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵

∠AME=∠FMD AM=DM ∠A=∠MDF

，
∴△AME≌△DMF，
∴EM=FM，
又∵GM⊥EF，
∴EG=FG，即△GEF是等腰三角形；

（2）解：∵當點E與點A重合時，如圖1所示，x=0，y=

1

2

AD×MG=

1

2

×4×4=8，
當點E不與點A重合時，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=

x2+4

，
∴EF=2ME=2

x2+4

，
如圖2所示，過M作MN⊥BC，垂足為N
則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM，
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM；

∴

AM

MN

=

ME

MG

，

ME

MG

=

1

2

，
∴MG=2ME=2

x2+4

，
∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+4

×2

x2+4

=2x²+8．
∴y=2x²+8（0≤x≤4）；

（3）解：不可能．
∵EF=MG=2

x2+4

，在Rt△MEG中EG＞MG，
∴EG＞EF，
∴△EFG不可能是等邊三角形．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質定理，相似三角形的判定和性質定理，以及全等三角形的判定正方形的性質等，難度較大．