Question

【題目】如圖，拋物線y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）和y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的頂點分別為M、N，與y軸分別交于E、F．

（1）①函數y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是；
②當y1、y2的值都隨x的增大而增大時，自變量x的取值范圍是；
（2）當EF=MN時，求a值，并判斷四邊形EMFN是何種特殊的四邊形；
（3）若y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當△AMN為等腰三角形時，求方程a（x+1）2﹣1=0的解．

Answer 1

【答案】
（1）-3；﹣1≤x≤1
（2）

解：∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，y2=a（x+1）2﹣1，

∴N（﹣1，﹣1），M（1，﹣3）．

由兩點間的距離公式可知：MN=2 ．

令x=0得：y1=﹣a﹣3，y2=a﹣1．

∴F（0，a﹣1），E（0，﹣a﹣3）．

∴EF=2a+2．

∵EF=MN，

∴2a+2=2 ，解得：a= ﹣1．

作NC⊥y軸于C，MD⊥y軸于D

∴NC=1，FC=a，MD=1，DE=a

∵在Rt△CNF和Rt△MDE中， ，

∴△NCF≌MDE．

∴NF=EM，∠NFC=∠DEM

∴NF‖EM

∴四邊形EMFN是平行四邊形

又∵NM=EF

∴四邊形EMFN是矩形

（3）

解：∵A（m，0）M（1，﹣3）N（﹣1，﹣1），

∴AN2=m2+2m+2，AM2=m2﹣2m+10，MN2=8．

①若AN=AM，則m2+2m+2=m2﹣2m+10，解得：m=2，

∴方程a（x+1）2﹣1=0的一個解為x=2，

根據拋物線對稱性，可知方程的另一個解為x=﹣4．

②若AN=MN，則m2+2m+2=8，解得：m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ （舍去），

所以方程a（x+1）2﹣1=0的一個解為x=﹣1+ ，

根據拋物線對稱性，可知方程的另一個解為x=﹣1﹣ ．

③若AM=MN，所以m2﹣2m+10=8，

此方程無解，所以此種情況不成立

綜上所述當△AMN為等腰三角形時，方程a（x+1）2﹣1=0的解為x1=2，x2=﹣4或x1=﹣1 或x2=﹣1﹣

【解析】解：（1）①y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3=﹣a（x2﹣2x+1）﹣3=﹣a（x﹣1）2﹣3，
∴函數y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是﹣3．
所以答案是：﹣3．
②∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，﹣a＜0，
∴當x≤1時，y隨x的增大而增大．
∵y2=a（x+1）2﹣1（a＞0），
∴當x≥﹣1時，y隨x的增大而增大．
∴當﹣1≤x≤1時，y1、y2的值都隨x的增大而增大．
【考點精析】利用二次函數的概念和二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．