Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據半徑及C點的坐標即可用三角形函數求出∠ACB的值．
（2）根據垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據C點的坐標即可得出A、B兩點的坐標．
（3）根據拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標為（1，3）．然后可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式．根據A或B的坐標即可確定拋物線的解析式．

解答：解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB=

CB2-CH2

=

3

；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3）；
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，
由已知得拋物線經過點B（1+

3

，0），
把點B（1+

3

，0）代入上式，
解得a=-1．
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

點評：此題考查了二次函數的綜合知識，題中用到了垂徑定理、勾股定理、拋物線和圓的對稱性、二次函數解析式的確定等知識，雖然涉及知識點較多，但難度不大．