Question

12．如圖，BC⊥CA于點C，DC⊥CE點C，∠ACE=∠DCB，BC=CA，DC=CE，直線BD與AE交于點F，交AC于點G，連接CF．
（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）求證：BF⊥AE；
（3）請判斷：∠CFE=∠CAB，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據SAS即可證明．
（2）由△BCD≌△ACE，推出∠CBD=∠CAE，由∠BGC=∠AGE，即可推出∠AFB=∠ACB=90°．
（3）結論：∠CFE=∠CAB，過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，由△BCD≌△ACE，推出AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，推出CH=CI，推出CF平分∠BFH，
推出，∠CFE=45°，由△ABC是等腰直角三角形，推出∠CAB=45°，即可證明．

解答 證明：（1）在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE；

（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；            

（3）結論：∠CFE=∠CAB，
理由：過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB．
故答案為=．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．