Question

本題提供了兩個備選題，請你從20-1和20-2題中任選一個予以解答，多做一個題不多計分．
20-1．如圖1，在△ACB中，∠ACB=90°．
（1）作線段AB的垂直平分線，交BC于點D；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）若AC=4，BC=8，求∠DAC的正切值．
20-2．知識鏈接：頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形．
如圖2，己知格點△ABC．
①請在圖中分別畫出與△ABC相似且面積最大的格點△DEF．（要求：簡述相似的理由）
②計算①中△DEF的面積．

Answer 1

【答案】分析：圖1，（1）分別以點A、B為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，過這兩點作直線交BC于點D，則點D即為所求；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BD=AD，然后用CD表示出AD，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，再求出AD，然后根據正切=列式計算即可得解；
圖2，先利用網格結構根據勾股定理求出AB、BC、AC的長度，然后求出三邊之比，再根據最長邊與網格結構可以作出的三角形的最長邊求出兩三角形的相似比，利用網格結構作出△DEF即可，先求出△ABC的面積，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方計算即可得解．
解答：解：圖1，（1）如圖所示；

（2）∵點D是線段AB垂直平分線上的點，
∴AD=BD，
∵BC=8，
∴AD=BD=8-CD，
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²，
即（8-CD）²=4²+CD²，
解得CD=3，
所以tan∠DAC==；

圖2，①根據網格結構以及勾股定理，AB==，
BC=2，AC==，
所以三邊之比為：：2：=1：：，
根據網格結構，可作三角形的最長邊為=5，
所以△DEF和△ABC的相似比為5：=，
其它兩邊分別為，2，
作圖如圖所示：
②S_△ABC=×2×1=1，
所以=（）²，
所以△DEF的面積=5×1=5．
點評：本題考查了利用相似變換作圖，線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，相似三角形面積的比等于相似比的性質，圖2中根據最長邊求出兩三角形的相似比是作圖的關鍵．