Question

如圖，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點F，延長BC到點E，使得四邊形ACED是一個平行四邊形，平行四邊形對角線AE交BD、CD分別為點G和點H．
（1）證明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，則線段GH的長度．

Answer 1

分析：（1）由已知可證得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到DG²=FG•BG；
（2）由已知可得到DH，AH的長，又因為△ADG∽△EBG，從而求得AG的長，則根據GH=AH-AG就得到了線段GH的長度．

解答：解：（1）證明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴

DG

BG

=

AG

GE

．
又∵△AGF∽△DGE，
∴

AG

GE

=

FG

DG

．
∴

DG

BG

=

FG

DG

．
∴DG²=FG•BG．

（2）∵ACED為平行四邊形，AE，CD相交點H，
∴DH=

1

2

DC=

1

2

AB=

5

2

．
∴在直角三角形ADH中，AH²=AD²+DH²
∴AH=

13

2

．
又∵△ADG∽△BGE，
∴

AG

GE

=

AD

BE

=

1

2

．
∴AG=

1

2

GE=

1

3

×AE=

1

3

×13=

13

3

．
∴GH=AH-AG=

13

2

-

13

3

=

13

6

．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定，平行四邊形的性質及矩形的性質等知識點的掌握情況．