Question

如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線的解析式求出A點的坐標，然后將A點坐標代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點的坐標，由于△AOC的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關系來求得．（解法不唯一）；
（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵點A橫坐標為4，
把x=4代入y=x中
得y=2，
∴A（4，2），
∵點A是直線y=x與雙曲線y=（k＞0）的交點，
∴k=4×2=8；

（2）解法一：如圖，
∵點C在雙曲線上，
當y=8時，x=1，
∴點C的坐標為（1，8）．
過點A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON．
∵S_矩形ONDM=32，S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4．
∴S_△AOC=S_矩形ONDM-S_△ONC-S_△CDA-S_△OAM=32-4-9-4=15；

解法二：如圖，
過點C、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點C在雙曲線上，
當y=8時，x=1，
∴點C的坐標為（1，8）．
∵點C、A都在雙曲線上，
∴S_△COE=S_△AOF=4，
∴S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF．
∴S_△COA=S_梯形CEFA．
∵S_梯形CEFA=×（2+8）×3=15，
∴S_△COA=15；

（3）∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=S_{平行四邊形APBQ×}=×24=6，
設點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S_△POE=S_△AOF=4，
若0＜m＜4，如圖，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴（2+）•（4-m）=6．
∴m₁=2，m₂=-8（舍去），
∴P（2，4）；

若m＞4，如圖，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴（2+）•（m-4）=6，
解得m₁=8，m₂=-2（舍去），
∴P（8，1）．
∴點P的坐標是P（2，4）或P（8，1）．
點評：本題考查反比例解析式的確定和性質、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．難點是不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差來求解．