Question

如圖，已知正方形ABCD，將一個45度角∝的頂點放在D點并繞D點旋轉，角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點E和F，連接EF．求證：EF＝AE＋CF

(1)小明是這樣思考的：延長BC到G，使得CG＝AE，連接DG，先證△DAE≌△DCG，再證△DEF≌△DGF，請你借助下圖，按照小明的思路，寫出完整的證明思路．

(2)劉老師看到這條題目后，問了小明兩個小問題：①如果正方形的邊長和△BEF的面積都等于6，求EF的長②將角∝繞D點繼續旋轉，使得角∝的兩邊分別和AB邊延長線、BC邊的延長線交于E和F，如圖所示，猜想EF、AE、CF三線段之間的數量關系并給予證明．請你幫忙解決．

Answer 1

答案：
解析：

(1)略 　　(2)①設EF＝x 　　由(1)知四邊形DEBG的面積＝正方形ABCD的面積＝36，又三角形BEF的面積是6，所以四邊形DEFG的面積為30，因為△DAE≌△DCG，EF＝FG＝x，所以三角形DFG的面積為15，所以1/2·6x＝15 　　解得x＝5，所以EF＝5 　　②如圖，延長CF到點G，使得CG＝AE，連接DG，易證△DAE≌△DCG所以∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE＋∠CDE＝90度，∴∠CDG＋∠CDE＝90度，∵∠EDF＝45度，∴∠GDF＝45度，易證△DFE≌△DFG，∴FE＝FG，∴CG－CF＝FG＝EF 　　∴EF＝AE－CF