Question

（2009•湖州）已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，請你在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經過81個格點中的多少個（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：建立如圖坐標系，水平為x軸，豎直為y軸，設拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，要使得點最多，取整數點（0，1），（1，1），（2，2）代入拋物線的解析式，求出a、b、c的值，再把各整數格點代入求解即可．
解答：解：由題意，建立如圖坐標系，水平為x軸，豎直為y軸，
設拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
要使得格點最多，拋物線如圖所示：
取整數點D（0，1），E（1，1），F（2，2）代入拋物線的解析式得，
1=a×0²+0×b+c，
1=a×1²+1×b+c，
2=a×2²+2b+c，
解得a=，b=，c=1，
故y=x²-x+1，
∴A（-3，7）；B（-2，4）；C（-1，2）；D（0，1）；E（1，1）
F（3，4）；G（3，4）；H（4，7）共8個．
建立坐標系的方法：設方格左下角為（0，0），沿著方格的邊沿建立直角坐標系．
取拋物線為y=（x-3）（x-4），
則它能經過8個格點：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）．
對于任意的二次函數，如果我們依次考察x=0，1，2，…，8時的值，并依次用后一個值減去前一個值，總得到一個等差數列．要使經過的格點盡量多，則這個等差數列的公差要盡量小，且為整數． 因此，令公差為1，這相當于取二次項系數為．
驗證：如果拋物線經過9個格點，那么在拋物線的頂點及一側至少經過5個格點，由于這5個格點的橫坐標都差1，考慮到拋物線的遞增或遞減趨勢，這5點的縱坐標的極差不小于1+2+3+4=10，顯然這5個格點不全在8×8網格之內．
故選C．
點評：此題是一道新穎題，定義了一個格點的概念，思路比較開放，要建立合適的坐標系來找最多格點，考查了拋物線的基本性質．