Question

如圖，已知二次函數的頂點坐標為（2，0），直線y=x+2與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點在y軸上，
（I）求此二次函數的解析式．
（II）P為線段AB上一點（A，B兩端點除外），過P點作x軸的垂線PC與（I）中的二此函數的圖象交于Q點，設線段PQ的長為m，P點的橫坐標為x，求出函數m與自變量x之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍．
（III）線段AB上是否存在一點，使（II）中的線段PQ的長等于5？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知拋物線的頂點坐標，可將該拋物線的解析式設為頂點式，要想用待定系數法求出拋物線的解析式，還需找出另外一點的坐標，顯然直線AB與y軸的交點A是最好的選擇，按此思路求解即可．
（Ⅱ）根據給出的P點橫坐標，結合直線AB和拋物線的解析式，先表示出P、Q兩點的坐標，它們縱坐標的差即為線段PQ的長．自變量的取值范圍可由A、B兩點的坐標來確定．
（Ⅲ）將PQ的長代入上題的函數解析式中，能得到一個方程，若方程有解即可得到符合條件的P點坐標；若方程無解，那么就不存在符合條件的P點．
解答：解：（Ⅰ）由直線AB：y=x+2 知，A（0，2）；
已知拋物線的頂點坐標為（2，0），可設其解析式為 y=a（x-2）²，代入A點坐標得：
2=a（0-2）²，a=
∴拋物線的解析式：y=（x-2）²=x²-2x+2．

（Ⅱ）已知點P的橫坐標為x，則P（x，x+2）、Q（x，x²-2x+2）；
則：PQ=（x+2）-（x²-2x+2）=-x²+3x
由于點P在線段AB上移動，且不與A、B重合，所以 0＜x＜6；
綜上，m=-x²+3x，0＜x＜6，

（Ⅲ）不存在．
理由：將PQ=5代入（Ⅱ）的函數解析式中，得：
5=-x²+3x，化簡得：x²-6x+10=0
△=36-40＜0
∴不存在符合條件的P點．
點評：該題是較為簡單的二次函數綜合題，只要準確得到拋物線的解析式，后面的題目就能迎刃而解．第二小題要注意點的運動范圍，以便正確的得到自變量的取值范圍．