Question

【題目】如圖，已知一次函數y=x+b的圖象與反比例函數y=（x＜0）的圖象交于點A（﹣1，2）和點B，點C在y軸上．

（1）當△ABC的周長最小時，求點C的坐標；

（2）當x+b＜時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（0，）；（2）當x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

【解析】

試題分析：（1）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求．由點A為一次函數與反比例函數的交點，利用待定系數法和反比例函數圖象點的坐標特征即可求出一次函數與反比例函數解析式，聯立兩函數解析式成方程組，解方程組即可求出點A、B的坐標，再根據點A′與點A關于y軸對稱，求出點A′的坐標，設出直線A′B的解析式為y=mx+n，結合點的坐標利用待定系數法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結論；（2）根據兩函數圖象的上下關系結合點A、B的坐標，即可得出不等式的解集．

試題解析：（1）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數y=（x＜0）的圖象過點A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數解析式為y=﹣（x＜0）；

∵一次函數y=x+b的圖象過點A（﹣1，2），

∴2=﹣+b，解得：b=，

∴一次函數解析式為y=x+．

聯立一次函數解析式與反比例函數解析式成方程組：，

解得：，或，

∴點A的坐標為（﹣1，2）、點B的坐標為（﹣4，）．

∵點A′與點A關于y軸對稱，

∴點A′的坐標為（1，2），

設直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有，解得：，

∴直線A′B的解析式為y=x+．

令y=x+中x=0，則y=，

∴點C的坐標為（0，）．

（2）觀察函數圖象，發現：

當x＜﹣4或﹣1＜x＜0時，一次函數圖象在反比例函數圖象下方，

∴當x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．