Question

在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（3，2），B（1，5）．
（1）若點P的坐標為（0，m），當m=    時，△PAB的周長最短；
（2）若點C、D的坐標分別為（0，a）、（0，a+4），則當a=    時，四邊形ABDC的周長最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，AB的長度一定，要使△PAB的周長取最小值，需要滿足PA+PB取最小值，利用軸對稱的性質確定點P的位置，求出A'B的函數解析式后即可得出點P的坐標；
（2）如圖2，作點A關于x軸的對稱點A′，則A′的坐標為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點D，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到CA′=DB′=CA，則AC+BD=BB′，根據兩點之間線段最短得到此時（AC+BD）最小，即四邊形ABDC的周長最短．然后用待定系數法求出直線BB′的解析式y=4x-17，易得D點坐標為
（0，），則有a+4=，即可求出a的值．
解答：解：（1）如圖，過點A作關于y軸的對稱點A'，連接A'B，則A'B與y軸的交點即為點P的位置，
∵點A的坐標為（3，2），
∴點A'的坐標為（-3，2），
設直線A'B的解析式為y=kx+b，則
，
解得，
即直線A'B的解析式為y=x+，
∵點P的坐標為（0，m），且點P在直線A′B上，
∴m=．

（2）解：如圖2，作點A關于x軸的對稱點A′，則A′的坐標為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點D，
∴CA′=CA，
又∵點C、D的坐標分別為（0，a）、（0，a+4），
∴CD=4，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此時AC+BD最小，
而CD與AB的長一定，
∴此時四邊形ABDC的周長最短．
易得直線BB′的解析式為y=-x+，
∵點D在直線BB′上，且D（0，a+4），
∴a+4=．
解得a=．
故答案是：；．
點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉化為一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題．也考查了坐標變換以及待定系數法求一次函數的解析式．