Question

小張同學善于改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖乙所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．
問：小張如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？
（學習收益總量=解題的學習收益量+回顧反思的學習收益量）

Answer 1

分析：此題首先可以判斷出甲圖是正比例函數解析式，由（3，6）可以求出，圖乙是一個分段函數應分為兩部分進行，列出函數解析式，特別應注意自變量的取值范圍．

解答：解：甲圖函數表達式：
把（3，6）點，代入y=kx，
解得：y=2x，自變量x的取值范圍是0≤x≤30，
乙圖函數表達式：因為過（0，0），（5，25），可得解析式

y=-x2+10x(0≤x≤5) y=25(5≤x≤15)

，
設用于回顧反思的時間為x（0≤x≤15）分鐘，學習效益總量為Z，
則他用于解題的時間為（30-x）分鐘，
當0≤x≤5時，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76，
∴當x=4時，Z_最大=76，
當5≤x≤15時，Z=25+2（30-x）=-2x+85，
∵Z隨x的增大而減小，
∴當x=5時，Z_最大=75，
綜合所述，當x=4時，Z_最大=76，此時30-x=26．
即用于解題的時間為26分鐘，用于回顧反思的時間為4分鐘時，學習收益總量最大．

點評：此題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，特別是分段函數中自變量的取值范圍問題，綜合性較強．