Question

矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，且∠ADB=30°，∠ADC的平分線交BC于E，連接OE．
（1）求∠COE的度數．
（2）若AB=4，求OE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE=∠CED=45°，又∠ADB=30°，所以∠CDO=60°，由矩形的特征“對角線互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等邊三角形，從而有OC=OD=CE，∠DCO=60°，∠OCB=30°，進而求得∠COE=75°；
（2）過O作OF⊥BC于F，利用已知條件求出BC和OF的值，再利用勾股定理即可求出OE的長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°；
∴EC=DC，
又∵∠ADB=30°，
∴∠CDO=60°；
又∵因為矩形的對角線互相平分，
∴OD=OC；
∴△OCD是等邊三角形；
∴∠DCO=60°，∠OCB=90°-∠DCO=30°；
∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，
∠CDE=∠CED=45°，
∴CD=CE=CO，
∴∠COE=∠CEO；
∴∠COE=（180°-30°）÷2=75°；

（2）過O作OF⊥BC于F，
∵AO=CO，
∴BF=CF，
∴OF=AB=2，
∵∠ADB=30°，AB=4，
∴AC=8，
∴BC==4，
∴BF=CF=2，
∵CD=CE=4，
∴EF=CE-CF=4-2，
在Rt△OFE中，
OE==4．
點評：本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，題目綜合性很強．