Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點D是

ABC

的中點，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點G．
（1）若過點E作⊙O的切線ME，交AC的延長線于點M（請補完整圖形），試問：ME=MG是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（2）在滿足第（2）問的條件下，已知AF=3，FB=

4

3

，求AG與GM的比．

Answer 1

分析：（1）連接OE，并延長EO交⊙O于N，連接DN；由于ME是⊙O的切線，則∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易證得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若證ME=MG，關鍵就是證得∠N=∠B；可從題干入手：點D是弧ABC的中點，則弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可證得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根據等角對等邊即可得證．
（2）根據相交弦定理可求得DF、EF的長，即可得到DE、AC的長，易證得△AFG∽△ACB，根據所得比例線段即可求得AG、GC的長，再由（1）證得ME=MG，可用MG分別表示出MA、MC的長，進而根據切割線定理求出MG的長，有了AG、MG的值，那么它們的比例關系就不難求出．

解答：解：（1）ME=MG成立，理由如下：
如圖，連接EO，并延長交⊙O于N，連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，
∴

AD

=

AE

，
∵點D是

ABC

的中點，
∴

AD

=

DBC

，
∴

AE

=

DBC

，
∴

AC

=

DBE

，即AC=DE，∠N=∠B；
∵ME是⊙O的切線，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

（2）由相交弦定理得：DF²=AF•FB=3×

4

3

=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴

AG

AB

=

AF

AC

，即

AG

3+ 4 3

=

3

4

，
解得AG=

13

4

，GC=AC-AG=

3

4

；
設ME=MG=x，則MC=x-

3

4

，MA=x+

13

4

，
由切割線定理得：ME²=MC•MA，即x²=（x-

3

4

）（x+

13

4

），
解得MG=x=

39

40

；
∴AG：MG=

13

4

：

39

40

=10：3，即AG與GM的比為

10

3

．

點評：此題是一道圓的綜合題，涉及到：切線的性質、圓周角定理、相交弦定理、弦切角定理、切割線定理等重要知識點，綜合性強，難度較大，能夠發現AC、DE的等量關系是解答此題的關鍵所在．