Question

如圖，已知拋物線y=ax²+c交x軸于點A（﹣1，0）和點B，交y軸于點C（0，﹣1）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△ACP相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+c過A（﹣1，0）和C（0，﹣1）
∴，解得
∴y=x²
（2）令y=0，x²﹣1=0，
解得x₁=1，x₂=﹣1
∴B（1，0）
∵A（﹣1，0），C（0，﹣1）
∴OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°過點P作PE⊥x軸于E，
則△APE為等腰直角三角形

令OE=a，則PE=a+1，
∴P（a，a+1）
∵點P在拋物線y=x²﹣1上，
∴a+1=a²﹣1解得a₁=2，a₂=﹣1（不符合題意）
∴PE=3
∴四邊形ACBP的面積S=ABOC+ABPE=×2×1+×2×3=4；
（3）假設存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x軸于點G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=1
∴AC=．在Rt△PAE中，AE=PE=3
∴AP=3設M點的橫坐標為m，則M （m，m²﹣1）①點M在y軸左側時，則m＜﹣1

（ⅰ） 當△AMG∽△PCA時，有
∵AG=﹣m﹣1，MG=m²﹣1即
解得m₁=﹣1（舍去） m₂=（舍去）
（ⅱ） 當△MAG∽△PCA時有
即
解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=﹣2
∴M（﹣2，3）
②點M在y軸右側時，則m＞1

（ⅰ） 當△AMG∽△PCA時有
∵AG=m+1，MG=m²﹣1
∴
解得m₁=﹣1（舍去） m₂=
∴M（，）
（ⅱ） 當△MAG∽△PCA時有
即
解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=4，
∴M（4，15），
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為（﹣2，3），（，），（4，15）．