Question

（2008•安徽）已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；
（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，求證：AB=AC；
（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫出圖表示．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，可通過構建全等三角形來求．過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜邊直角邊定理（HL）證明直角三角形DEB和DFC全等來實現；
（2）思路和輔助線同（1）證得Rt△OEB≌Rt△OFC后，可得出∠OBE=∠OCF，等腰三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，因此∠OBC=∠OCB，那么OB=OC；
（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，AB≠AC．
解答：（1）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由題意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠ABC=∠ACB，
從而AB=AC；

（2）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線不重合時，AB≠AC．（如示例圖）
點評：本題的關鍵是通過輔助線來構建全等三角形．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．