Question

一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等．試確定這個直角三角形三邊的長．

Answer 1

解：假設符合條件的直角三角形存在，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則
a²+b²=c²，a+b+c=，
∵a、b、c均為正整數，
∴a≠b；不妨設a＞b，則有a+b+=，
兩邊平方，并整理得，
-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab，得
-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a-4=8，b-4=1，解得：a=12，b=5，則c=13；
②a-4=4，b-4=2，解得：a=8，b=6，則c=10；
綜上所述，符合條件的直角三角形的邊長分別是5、12、13；6、8、10．
分析：設符合條件的直角三角形的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則a²+b²=c²，a+b+c=，于是將存在性問題的討論轉化為求方程組的解．
點評：本題主要考查了一元二次方程的整數根及有理根、勾股定理的逆定理的應用．在解題過程中，當勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創造必要的條件，有時又需要由線段的數量關系去判斷線段的位置關系，這就需要熟悉一些常用的勾股數組．