Question

證明：只存在唯一一個三角形，它的三邊長為三個連續的正整數，并且它的三個內角中有一個內角為另一個內角的2倍．

Answer 1

證明：如圖，在△ABC中，設∠A=2∠B，且三邊長分別為a，b，c．
延長CA到點D，使AD=AB=c，則CD=b+c，由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D．
從而，△ABC∽△BDC，故，即
于是，a²=b（b+c）①
當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1，代入①式，解得，n=5．
此時，a=6，b=5，c=4；
當c＞a＞b時，設c=n+1，a=n，b=n-1，解得，n=2．
此時，a=2，b=1，c=3，不能構成三角形；
同理，當a＞b＞c時，可得，n²-3n-1=0，無解．
綜上所述，滿足條件的三角形只有一個，其三邊長為4，5，6．
分析：首先保證該三角形的三個內角中有一個內角為另一個內角的2倍，構造相似三角形，得到a，b，c之間的一個關系式，再根據邊長為三個連續的正整數，進行分析求解．
點評：此題綜合運用了相似三角形的判定和性質以及三角形的三邊關系．