Question

（2006•安徽）老師在黑板上寫出三個算式：5²-3²=8×2，9²-7²=8×4，15²-3²=8×27，王華接著又寫了兩個具有同樣規律的算式：11^2-5²=8×12，15²-7²=8×22，…
（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的算式；
（2）用文字寫出反映上述算式的規律；
（3）證明這個規律的正確性．

Answer 1

【答案】分析：通過觀察可知，等式左邊一直是兩個奇數的平方差，右邊總是8乘以一個數．根據平方差公式，把等式左邊進行計算，即可得出結論任意兩個奇數的平方差等于8的倍數．
解答：解：（1）11²-9²=8×5，13²-11²=8×6．
（2）規律：任意兩個奇數的平方差等于8的倍數．
（3）證明：設m，n為整數，兩個奇數可表示2m+1和2n+1，
則（2m+1）²-（2n+1）²=4（m-n）（m+n+1）．
當m，n同是奇數或偶數時，m-n一定為偶數，所以4（m-n）一定是8的倍數．
當m，n-奇-偶時，則m+n+1一定為偶數，所以4（m+n+1）一定是8的倍數
所以，任意兩奇數的平方差是8的倍數．
點評：本題為規律探究題，考查學生探求規律解決問題的思維能力．