Question

已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點A，直線l與⊙O₁、⊙O₂相切于B、C兩點，且與O₁O₂的延長線交于點P（如圖）．

（1）求∠BAC的度數；當l繞P點逆時針移動（過A點時除外），與⊙O₁和⊙O₂的交點從左到右依次為B、G、F、C時（如圖），∠BAC+∠GAF的度數能定嗎？若能確定，請求出．

（2）當直線1繞P點移動到兩圓的另一側且與兩圓分別相切于D、E時，在圖中各找出兩組垂直線段和相似三角形．（不再添加輔助線）

Answer 1

解：（1）過點A作兩圓的內公切線，交BC于點Q，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點A，直線l與⊙O₁、⊙O₂相切于B、C兩點，
∴QB=QA=QC，
∴∠BAC=90°；
當l繞P點逆時針移動（過A點時除外），與⊙O₁和⊙O₂的交點從左到右依次為B、G、F、C時，∠BAC+∠GAF的度數能確定．過點A作兩圓的內公切線，交BC于點Q；
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點A，
∴∠GAQ=∠B，∠FAQ=∠P，
∴∠GAF=∠GAQ+∠FAQ=∠B+∠P；
∵∠BAC+∠B+∠P=180°，
∴∠BAC+∠GAF=180°；

（2）垂直線段：O₁D⊥PD，O₂E⊥PE
相似三角形：△PO₁D∽△PO₂E．
分析：（1）根據如果三角形一邊的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．為此，過點A作兩圓的內公切線，交BC于點P．根據切線長定理可得PB=PA=PC，得出∠BAC=90°．∠BAC+∠GAF的度數是否能確定，取決于此二角的度數和是否為一個常數，如果過點A作兩圓的內公切線，交BC于點Q，所以GAF=∠B+∠P，從而∠BAC+∠GAF=180°．
（2）根據切線的性質容易知道O₁D⊥PD，O₂E⊥PE．由O₁D∥O₂E知：△PO₁D∽△PO₂E．
點評：本題綜合考查了直線與圓，圓與圓的位置關系，切線的性質，直角三角形，相似三角形的判定等多個知識點．