Question

（2008•安順）如圖所示，四邊形ABCD是以O為圓心，AB為直徑的半圓的內接四邊形，對角線AC、BD相交于點E．
（1）求證：△DEC∽△AEB；
（2）當∠AED=60°時，求△DEC與△AEB的面積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理的推論發現兩個三角形中的兩個角相等，從而證明三角形相似；
（2）根據（1）中的結論，兩個三角形的面積比即是DE和AE的比的平方．根據30°的直角三角形的性質即可證明．
解答：（1）證明：∵∠CDE=∠EAB，∠DCE=∠EBA，
∴△DEC∽△AEB．

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90度．
∵∠AED=60°，
∴∠DAE=30度．
∴AE=2DE．
∴S_△DEC：S_△AEB=DE²：AE²=1：4．
點評：熟練掌握相似三角形的判定和性質．