Question

【題目】在等邊△ABC中，點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且AP＝AQ．

（1）如圖1，已知，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，分別聯(lián)結(jié)AM、PM；

①當(dāng)點(diǎn)P分別在點(diǎn)Q左側(cè)和右側(cè)時，依據(jù)題意將圖2、圖3補(bǔ)全（不寫畫法）；

②小明提出這樣的猜想：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，始終有PA＝PM．經(jīng)過小紅驗(yàn)證，這個猜想是正確的，請你在①的點(diǎn)P、Q的兩種位置關(guān)系中選擇一種說明理由．

Answer 1

【答案】（1）80° （2）①答案見解析 ②答案見解析

【解析】

（1）先利用三角形外角定理得到∠APQ的值，再利用等邊對等角轉(zhuǎn)化即可；

（2）①根據(jù)題中所述步驟補(bǔ)全圖形即可；

②選擇點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，QM交AC于點(diǎn)H，證明 △AQH≌△AMH，再證明AP＝AM，最后證明△APM是等邊三角形即可.

解：（1）∵AP＝AQ，

∴∠APQ＝∠AQP，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠BAP＝20°，

∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；

（2）①如圖2，3所示：

②PA＝PM，

點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，QM交AC于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，

∴QH＝MH，∠AHQ＝∠AHM，

∵AH＝AH，

∴△AQH≌△AMH（SAS），

∴AQ＝AM，∠QAH＝∠MAH，

∵AP＝AQ，

∴AP＝AM，

∵∠BAP＝∠CAQ，

∴∠QAH＝∠MAH＝∠BAP，

∴∠PAM＝∠PAQ+∠QAH+∠MAH＝∠PAQ+∠QAH+∠BAP＝∠BAC＝60°，

∴△APM是等邊三角形，

∴PA＝PM．