Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=8，OC=4．現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發，點P在線段OA上沿OA方向以每秒2個單位長的速度勻速運動，點Q在線段CO上沿CO方向以每秒1個單位長的速度勻速運動．設運動時間為t秒．
（1）填空：OP=______，OQ=______；（用含t的式子表示）
（2）試證明：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；
（3）當∠QPB=90°時，拋物線經過B、P兩點，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于點N，交線段CB于點G，交x軸于點H，連結PG，BH，試探究：當線段MN的長取最大值時，判定四邊形GPHB的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據運動的速度即可求解；
（2）根據S_{四邊形OPBQ}=S_{四邊形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ，分別利用t表示出S_{四邊形OABC}，S_△PAB，S_△CBQ，即可求解；
（3）易證：△OPQ～△ABP，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得t的值，則P的坐標可以求得，利用待定系數法即可求得函數的解析式，則MN的長度可以利用t表示出來，然后利用函數的性質即可求解．
解答：解：（1）填空：OP=2t，OQ=4-t       …（2分）
（2）根據題意，易知：AB=4，PA=（8-2t），BC=8，CQ=t
∴S_{四邊形OPBQ}=S_{四邊形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ…（3分）
=4×8-AB×PA-BC×CQ
=32-×4×（8-2t）-×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四邊形OPBQ的面積是一個定值，這個定值是16…（5分）
（3）當∠QPB=90°時，
易證：△OPQ～△ABP…（6分）
∴（7分）
∴
解得：t=1  或t=4（不合，舍去）
∴t=1
∴OP=2，即點P（2，0）…（8分）
又點B（8，4）、點P（2，0）在拋物線上，
可求得：，c=4
∴此時拋物線的解析式為…（9分）
由點P（2，0），點B（8，4）可求得直線PB的解析式為…（10分）
則根據題意設點M（x，），點 N（x，）…（11分）
∴MN=-（）
=
∴當x=5時，MN最大值為3…（12分）
此時PG=OG-OP=5-2=3，BH=CB-CH=8-5=3
∴PG與BH平行且相等
∴四邊形GPHB是平行四邊形．…（13分）
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點以及平行四邊形的判定，正確求得MN的長是關鍵．