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在矩形ABCD中,DC=2,CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F,連接BF.
(1)求證:△DEC∽△FDC;
(2)當F為AD的中點時,求sin∠FBD的值及BC的長度.

【答案】分析:(1)根據題意可得∠DEC=∠FDC,利用兩角法即可進行相似的判定;
(2)根據F為AD的中點,可得FB=FC,根據AD∥BC,可得FE:EC=FD:BC=1:2,再由sin∠FBD=EF:BF=EF:FC,即可得出答案,設EF=x,則EC=2x,利用(1)的結論求出x,在Rt△CFD中求出FD,繼而得出BC.
解答:解:(1)∵∠DEC=∠FDC=90°,∠DCE=∠FCD,
∴△DEC∽△FDC.

(2)∵F為AD的中點,AD∥BC,
∴FE:EC=FD:BC=1:2,FB=FC,
∴FE:FC=1:3,
∴sin∠FBD=EF:BF=EF:FC=
設EF=x,則FC=3x,
∵△DEC∽△FDC,
=,即可得:6x2=12,
解得:x=
則CF=3
在Rt△CFD中,DF==
∴BC=2DF=2
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質,解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質:對應邊成比例.
練習冊系列答案
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7、如圖,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于點E,EF⊥AD交AD于點F,若EF=3,AE=5,則AD等于(  )

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精英家教網在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E為AB邊上一點,連接DE,過C作CF垂直DE.
(1)求證:△CDF∽△DEA;
(2)若設CF=x,DE=y,求y與x的函數解析式.

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同步練習冊答案
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