Question

【題目】如圖，在梯形中，，．，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（秒）

（1）設(shè)的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若四邊形為平行四邊形，求運(yùn)動時間t；

（3）當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1) ； (2) ； (3) 或者t=3.6

【解析】

(1) 根據(jù)可得，再根據(jù)三角形面積的求法，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到AP=BQ時四邊形ABQP是平行四邊形，再求出t即可得到答案；

(3)根據(jù)題意分三種情況（PB=PQ，PQ=BQ，PB=BQ），再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論求出t即可得到答案；

解：(1) ∵BC=20，動點(diǎn)Q以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴CD的長度是以BQ為底邊的高的長度，

∴；

(2)如下圖：

由題意得：，，

∵，

∴當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

即：，

解得：；

(3)情況1：如下圖：作PN⊥BC與點(diǎn)N，

當(dāng)PB=PQ時，

NQ=BN（三線合一定理），

∵NQ=PD－CQ=2t－t=t，

∴BN=t，BQ=2t，

∵BC－BQ=CQ

∴20－2t=t，

解得：；

情況2：如圖，作PN⊥BC與點(diǎn)N，

當(dāng)PQ=BQ時，

NQ=PD－CQ=2t－t=t，

PQ=BQ=20－t，

在直角三角形NPQ中，

（勾股定理），

∴，

解得t=3.6；

情況3：如圖，

當(dāng)PB=BQ時，

BN=20－2t，

BP=BQ=20－t，

在直角三角形BNP中，

（勾股定理），

∴，

整理得：

，

故方程無解，綜上可得：或者t=3.6時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．