Question

2010年夏季降至，太陽百貨某服裝店計劃進A，B兩種型號的襯衣共80件，該店用于買襯衣的資金不少于4288元，但不超過4300元，兩種型號的襯衣進價和售價如下表：

	A	B
進價 （元/件）	50	56
售價（元/件）	60	68

（1）該店對這兩種型號的襯衣有哪幾種進貨方案？
（2）假如你是該店的經理，要使該店獲取最大利潤，應如何進貨？此時最大利潤是多少？
（3）如果A型號售價適當提價m元，使其售價提高但不超過B型號的售價，請你分析應該如何進貨才能使該店獲得利潤最大．

Answer 1

解：（1）設進A種型號的襯衣x件，則進B種型號的襯衣（80-x）件，
根據題意得4288≤50x+56（80-x）≤4300，
解得45≤x≤48，
∵x為整數，
∴x=45，46，47，48，
∴該店對這兩種型號的襯衣有4種進貨方案：方案一、進A種型號的襯衣45件，進B種型號的襯衣35件；方案二、進A種型號的襯衣46件，進B種型號的襯衣34件；方案三、進A種型號的襯衣47件，進B種型號的襯衣33件；方案四、進A種型號的襯衣48件，進B種型號的襯衣32件；

（2）設進A種型號的襯衣x件，利潤為y元，
根據題意，得y=（60-50）x+（68-56）（80-x）=-2x+960，
∵y隨x的增大而減小，
∴當x=45時，y的值最大，此時y=-2×45+960=870，
∴要使該店獲取最大利潤，應進A種型號的襯衣45件，進B種型號的襯衣35件，最大利潤是多870元；

（3）設進A種型號的襯衣x件，利潤為W元，
根據題意，得W=（60-50+m）x+（68-56）（80-x）=（m-2）x+960，
當m-2＜0，即0≤m＜2時，W隨x的增大而減小，則x=45時，W的值最大，要使該店獲取最大利潤，應進A種型號的襯衣45件，進B種型號的襯衣35件；
當m-2=0，即m=2時，W隨x的增大而減小，該店獲取利潤不變；
當m-2＞0，即m＞2時，而A型號售價適當提價m元，使其售價提高但不超過B型號的售價，則m≤8，所以2＜m≤8，W隨x的增大而增大，則x=48時，W的值最大，要使該店獲取最大利潤，應進A種型號的襯衣48件，進B種型號的襯衣32件．
分析：（1）設進A種型號的襯衣x件，則進B種型號的襯衣（80-x）件，利用用于買襯衣的資金不少于4288元，但不超過4300元可得到4288≤50x+56（80-x）≤4300，解得45≤x≤48，則x=45，46，47，48，易得到該店對這兩種型號的襯衣有4種進貨方案；
（2）設進A種型號的襯衣x件，利潤為y元，把兩種型號的襯衣的利潤加起來得到y=（60-50）x+（68-56）（80-x）=-2x+960，利用一次函數的性質得到當x=45時，y的值最大，此時y=-2×45+960=870；
（3）設進A種型號的襯衣x件，利潤為W元，與（2）一樣得到W=（60-50+m）x+（68-56）（80-x）=（m-2）x+960，然后進行討論：當m-2＜0，即0≤m＜2時；當m-2=0，即m=2時；當m-2＞0，即m＞2時，而A型號售價適當提價m元，使其售價提高但不超過B型號的售價，則m≤8，所以2＜m≤8，分別利用一次函數的性質確定x的值．
點評：本題考查了一次函數的實際應用：先根據實際問題列出一次函數關系式以及自變量的取值范圍，然后根據一次函數的性質在取值范圍內確定函數的最大或最小值．也考查了一元一次不等式組的應用．