Question

如圖，△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點D，交BC于點G，過點D作EF∥BC，分別交AB、AC的延長線于點E、F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）已知：CD=2，AG=3，求

AB

BE

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由題意得弧BD與弧CD相等，由OD⊥BC，則EF為⊙O的切線．
（2）由題意得∠DCG=∠DAC，可證得△DCG∽△DAC，則

DC

DA

=

DG

DC

，設DG=x，則x（x+3）=4，從而得出DG=1，則求得

AB

BE

的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴弧BD與弧CD相等，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，所以，EF為⊙O的切線．

（2）解：∵∠DCG=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCG=∠DAC
∵∠CDG=∠ADC，
∴△DCG∽△DAC，
∴

DC

DA

=

DG

DC

，
設DG=x，則x（x+3）=4，取正根，得x=1，所以DG=1，
∵EF∥BC，
∴

AB

BE

=

AG

GD

=3．

點評：本題考查了切線的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．