Question

如圖，已知A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，2），⊙C的圓心坐標為（-1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的面積公式，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當AD與⊙C相切時，BE的值最小，根據勾股定理求出AD的值，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，代入三角形的面積公式進行計算即可求解．
解答：解：如圖所示，當AD與⊙C相切時，點BE最短，此時△ABE面積的最小，
∵A（2，0），C（-1，0），⊙C半徑為1，
∴AO=2，AC=2+1=3，CD=1，
在Rt△ACD中，AD===2，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠AOE，
在△AOE與△ADC中，，
∴△AOE∽△ADC，
∴=，
即=，
解得EO=，
∵點B（0，2），
∴OB=2，
∴BE=OB-OE=2-，
∴△ABE面積的最小值=×BE×AO=（2-）×2=2-．
故答案為：2-．
點評：本題考查了坐標與圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度是解題的關鍵．