Question

如圖，已知拋物線與關于y軸對稱，與y軸交于點M，與x軸交于點A和B．

（1）求出的解析式，試猜想出與一般形式拋物線關于y軸對稱的二次函數解析式（不要求證明）．

（2）若A，B的中點是點C，求sin∠CMB．

（3）如果過點M的一條直線與圖象相交于另一點N（a，b），ab且滿足a²-a+q=0，b²-b+q=0（q為常數），求點N的坐標．

 

Answer 1

解：（1）的頂點為（-3，-4），

即的頂點的為（3，-4），

即， 

與y軸的交點M（0，5），

即與y軸的交點M（0，5）．

即a=1，所求二次函數為

猜想：與一般形式拋物線關于y

軸對稱的二次函數解析式是．

 

（2）過點C作CD⊥BM于D．

拋物線與x軸的交點A（1，0），

B（5，0），與y軸交點M（0，5），AB中點C

（3，0）；故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，

CD，BC=2．  在Rt△MOC中，MC＝．

則sin∠CMB＝．

（3）設過點M（0，5）的直線為y=kx+5

解得

則a=k+6，b=k²+6x+5．

由已知a，b是方程x²-x+9=0的兩個根，

故a＋b＝1．(k+6)+(k²+6k+5)=1，

化k²+7k+10=0，則k₁=-2，k₂=-5．

點N的坐標是（4，-3）或（1，0）．