Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點以每秒2cm的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以每秒1cm的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長；
（3）設四邊形AFEC的面積為y，用含t的代數(shù)式表示y，并探究何時四邊形AFEC的面積最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠D=∠ACB，∠ACD=∠BAC可得證；
（2）運用相似三角形性質計算；
（3）四邊形AFEC的面積=△ABC的面積-△BEF的面積．
解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴=．
∴DC===（cm）；

（3）
作CM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N．
∵S_△ABC=AC•BC=AB•CM，
∴CM===．
∵CM∥EN，
∴=，
∴EN==．
S_{四邊形AFEC}=S_△ABC-S_△BEF
=×6×8-×（10-2t）×t
=24-4t+t²，
即 y=t²-4t+24．（0＜t＜5）
∵＞0，∴y有最小值．
當t=-=2.5時，y值最小．
點評：此題考查動態(tài)問題中相似三角形的判定與性質和二次函數(shù)的綜合應用，正確表示△BEF的面積是關鍵．難度中等．