Question

【題目】數學課上，老師出示了如下的題目：“在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖1，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．”小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論：當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE　　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）

（2）特例啟發，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）．理由如下：如圖3，過點E做EF∥BC，交AC于點F．（請你完成解答過程）

（3）拓展結論，設計新題.

已知O是等邊三角形ABD的邊BD的中點，AB=4，EF分別為射線AB、DA上一動點，且∠EOF=120°，若AF=1，求BE的長.

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，（3）3或1.

【解析】

（1）當E為中點時∠D＝∠BED＝30°即可證明

（2）過E作EF∥BC交AC于點F，證明△DBE≌△EFC，可得BD=EF，從而證明得出

（3）分別討論當F在線段DA的延長線上，當F點在線段DA上時，證明△OMF≌△OBE，BE=MF即可求出

解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，

∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD＝30°，

∵∠EBC＝∠D+∠BED，

∴∠D＝∠BED＝30°，

∴BD＝BE＝AE．

故答案為＝．

（2）結論：AE＝BD．理由如下：

如圖2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF＝∠B＝60°，∠A＝60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，

∴∠EFC＝∠DBE＝120°，

∵AB＝AC，AE＝AF，

∴BE＝CF，

∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，

在△DBE和△FEC中，

，

∴△DBE≌△EFC，

∴BD＝EF＝AE，

∴BD＝AE，

故答案為＝．

（3）當F在線段DA的延長線上，如圖3，作OM∥AB交AD于M，

∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，

∴OB=2，∠D=∠ABC=60°，

∴△ODM為等邊三角形，

∴OM=MD=2，∠OMD=60°，

∴FM=FA+AM=3，∠FMO=∠BOM=120°，

∵∠EOF=120゜，

∴∠BOE=∠FOM，

而∠EBO=180°-∠ABC=120°，

在△OMF和△OBE中，

，

∴△OMF≌△OBE，

∴BE=MF=3；

當F點在線段DA上，如圖4，

∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，

∴OB=2，∠D=∠ABC=60°，

∴△ODM為等邊三角形，

∴OM=MD=2，∠OMD=60°，

∴FM=AM-FA=1，∠FMO=∠BOM=120°，

∵∠EOF=120゜，

∴∠BOE=∠FOM，

而∠EBO=180°-∠ABC=120°，

在△OMF和△OBE中，

，

∴△OMF≌△OBE，

∴BE=MF=1；

所以BE的值為3或1.