Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB邊上一點，EF⊥CE交AD于點F，過點E作∠AEH=∠BEC，交射線FD于點H，交射線CD于點N．

（1）如圖1，當點H與點F重合時，求BE的長；
（2）如圖2，當點H在線段FD上時，設BE=x，DN=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連結AC，當以點E，F，H為頂點的三角形與△AEC相似時，求線段DN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠BEC=45°，推出BE=BC，即可得出答案；
（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點G，推出BE=CG，求出∠N=∠ECN，得出EN=EC，推出CN=2CG=2BE，根據BE=x，DN=y，CD=AD=4即可得出答案；
（3）求出∠AFE=∠CEB，推出∠HFE=∠AEC，分為兩種情況：（�。┤簟螰HE=∠EAC時，推出∠EAC=∠ECB，求出tan∠EAC=tan∠ECB，代入=求出BE即可；（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，EG與AC交于點O．求出∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．求出∠CEG=∠ECA，推出EO=CO，設EO=CO=3k，則AE=4k，AO=5k，根據AO+CO=8k=5求出k，求出AE=，BE=，即可得出答案．
解答：解：（1）如圖1，∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；

（2）如圖2，過點E作EG⊥CN，垂足為點G，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠N=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵BE=x，DN=y，CD=AD=4，
∴y=2x-4（2≤x≤3）；

（3）如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
當以點E，F，H為頂點的三角形與△AEC相似時，
（�。┤簟螰HE=∠EAC時，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴=，
∴BE=，
∴DN=；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如圖3，EG與AC交于點O．
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠HEG=∠CEG，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠HEG，
∴∠FHE=∠CEG，
∴∠CEG=∠ECA，
∴EO=CO，
設EO=CO=3k，則AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=，
∴AE=，BE=，
∴DN=1，
綜上所述，線段DN的長為或1．
點評：本題考查了平行線性質，矩形性質，相似三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，但是難度偏大．