Question

如圖所示，在⊙O中，，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC．

（1）求證：AC²=AB•AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）

【解析】（1）證明：∵，∴∠ACD=∠ABC。

又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。

∴，即AC²=AB•AF。

（2）解：如圖，連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。

又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。

在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1

∴。∴AC=2AE=2。

∴。

（1）由，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根據相似得比例可得證。

（2）連接OA，OC，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由扇形AOC的面積﹣△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用等腰三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數定義求出各線段長即可