Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADE=，求AE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，則∠AOD=為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．
（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE根據題意得sin∠ABE=．由AB是圓O的直徑求出AB的長．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
解答：解：（1）CD與圓O相切．（1分）
證明：連接OD，則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．（2分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．（3分）
∴CD與圓O相切．

（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE．
∴sin∠ADE=sin∠ABE=．（4分）
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
在Rt△ABE中，sin∠ABE==．
∴AE=5．
點評：本題考查了切線的判定和性質、平行四邊形的判定和性質以及圓周角定理，注意輔助線的作法是解此題的關鍵．