Question

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結論中正確的有
①∠ACD=∠B ②CH=CE=EF ③AC=AF ④CH=HD ⑤BE=CH．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①由CD是斜邊AB上的高，∠ACB=90°，得到∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即可得到答案；②由角平分線的性質得到CE=EF，根據三角形的外角性質能求出∠CHE=∠CEA，推出CH=CE即可得到答案；③根據直角三角形全等的判定定理HL即可；④⑤根據邊得關系即可判斷．
解答：①∵CD是斜邊AB上的高，∠ACB=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴①正確；
②∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠C=90°，EF⊥AB，
∴CE=FE，
∵∠CHE=∠CAE+ACD，∠CEA=∠BAE+∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠CHE=∠CEA，
∴CH=CE，
即：CH=CE=EF，∴②正確；
③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE=AE，CE=EF，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE，
∴AC=AF，∴③正確；
④∵CH=EF，∴CH≠HD，∴④錯誤；
⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF=CH，∴⑤錯誤．
故選C．
點評：本題主要考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點，解此題的關鍵是綜合運用性質進行證明．此題題型較好，綜合性強．