Question

如圖，已知AB⊥MN，垂足為點B，P是射線BN上的一個動點，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，點C到MN的距離為線段CD的長．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（2）在點P的運動過程中，點C到MN的距離是否會發生變化？如果發生變化，請用x的代數式表示這段距離；如果不發生變化，請求出這段距離；
（3）如果圓C與直線MN相切，且與以BP為半徑的圓P也相切，求BP：PD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求y關于x的函數解析式，可以證明△ABP∽△CAP，根據相似比得出；
（2）C到MN的距離，即CD的長，可以延長CA交直線MN于點E，證明AB∥CD，由平行線的性質得出；
（3）圓C與直線MN相切，且與以BP為半徑的圓P也相切，根據圓與圓的位置關系有（i）當圓C與圓P外切時，CP=PB+CD，即y=x+8，（ii）當圓C與圓P內切時，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，結合（1），（2）求出BP：PD的值．
解答：解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．（1分）
∴．
即．（1分）
∴所求的函數解析式為（x＞0）．（1分）

（2）CD的長不會發生變化．（1分）
延長CA交直線MN于點E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）

（3）∵圓C與直線MN相切，
∴圓C的半徑為8．（1分）
（i）當圓C與圓P外切時，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴，
∴x=2，（1分）
∴BP=2，
∴CP=y=2+8=10，
根據勾股定理得PD=6
∴BP：PD=．（1分）
（ii）當圓C與圓P內切時，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴．
∴或．
∴x=-2（不合題意，舍去）或無實數解．（1分）
∴綜上所述BP：PD=．
點評：本題難度較大，考查相似三角形的判定和性質．切線的性質及圓與圓的位置關系．