Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．
（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；
第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；
第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
第三步，連接BD．
（2）求證：AD²=AE•AB；
（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點D；點D作AC的垂線，垂足為點E；
（2）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根據相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似的性質得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性質即可得到AD²=AE•AB；
（3）連OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，則不妨設AC=3x，AB=5x，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB，根據垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，則有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四邊形ECGD為矩形，則CE=DG=OD-OG=x-x=x，可計算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，則AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，
然后根據比例的性質即可得到的值．
解答：（1）解：如圖；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，
∴AD²=AE•AB；

（3）解：連OD、BC，它們交于點G，如圖，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，
∴不妨設AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，
∴弧DC=弧DB，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，
∴OG=AC=x，∠AED=90°，
∴四邊形ECGD為矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x=x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，
∴EF：OF=4x：x=8：5，
∴==．
點評：本題考查了圓的綜合題：平分弦所對的弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；直徑所對的圓周角為直角；運用相似三角形的判定與性質證明等積式和幾何計算；掌握基本的幾何作圖．