Question

【題目】如圖，已知二次函數L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函數L2：y=﹣a（x+1）2+1

（a＞0）圖象的頂點分別為M，N，與y軸分別交于點E，F．

（1）函數y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值為______，當二次函數L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是______．

（2）當EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不必證明）．

（3）若二次函數L2的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當△AMN為等腰三角形時，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．

Answer 1

【答案】（1）3；﹣1≤x≤1；（2）a=﹣1，四邊形ENFM是矩形；（3）x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．

【解析】試題分析：（1）把二次函數L1：y=ax2﹣2ax+a+3化成頂點式，即可求得最小值，分別求得二次函數L1，L2的y值隨著x的增大而減小的x的取值，從而求得二次函數L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍；

（2）先求得E、F點的坐標，作MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，從而求得MG=NH=1，然后證得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，進而證得EM∥NF，從而得出四邊形ENFM是平行四邊形；

（3）作MN的垂直平分線，交MN于D，交x軸于A，先求得D的坐標，繼而求得MN的解析式，進而就可求得直線AD的解析式，令y=0，求得A的坐標，根據對稱軸從而求得另一個交點的坐標，就可求得方程﹣a（x+1）2+1=0的解．

試題解析：（1）∵二次函數L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，

∴頂點M坐標為（1，3），∵a＞0，∴函數y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值為3，

∵二次函數L1的對稱軸為x=1，當x＜1時，y隨x的增大而減小；

二次函數L2：y=﹣a（x+1）2+1的對稱軸為x=﹣1，當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小；

∴當二次函數L1，L2的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是﹣1≤x≤1；

故答案為：3，﹣1≤x≤1．

（2）由二次函數L1：y=ax2﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），

由二次函數L2：y=﹣a（x+1）2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1），

∵M（1，3），N（﹣1，1），

∴EF=MN==2，

∴a+3﹣（﹣a+1）=2，

∴a=﹣1，

作MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，

∴MG=NH=1，

∵EG=a+3﹣3=a，FH=1﹣（﹣a+1）=a，

∴EG=FH，

在△EMG和△FNH中，

，

∴△EMG≌△FNH（SAS），

∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，

∴EM∥NF，

∴四邊形ENFM是平行四邊形；

∵EF=MN，

∴四邊形ENFM是矩形；

（3）由△AMN為等腰三角形，可分為如下三種情況：

①如圖2，當MN=NA=2時，過點N作ND⊥x軸，垂足為點D，則有ND=1，DA=m﹣（﹣1）=m+1，

在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2）2=（m+1）2+12，

∴m1=﹣1，m2=﹣﹣1（不合題意，舍去），

∴A（﹣1，0）．

由拋物線y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的對稱軸為x=﹣1，

∴它與x軸的另一個交點坐標為（﹣1﹣，0）．

∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解為x1=﹣1，x2=﹣1﹣．

②如圖3，當MA=NA時，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，則有OG=1，MG=3，GA=|m﹣1|，

∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m﹣1）2，

又∵NA2=（m+1）2+12，

∴（m+1）2+12=32+（m﹣1）2，m=2，

∴A（2，0），

則拋物線y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的左交點坐標為（﹣4，0），

∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解為x1=2，x2=﹣4．

③當MN=MA時，32+（m﹣1）2=（2）2，

∴m無實數解，舍去．

綜上所述，當△AMN為等腰三角形時，方程﹣a（x+1）2=0的解為

x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．