Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為2

3

，它的頂點A在拋物線y=x2-2

3

x上運動，且BC∥x軸，點A在BC的上方．
（1）當頂點A運動至原點重合時，頂點C是否在該拋物線上？請說明理由．
（2）△ABC在運動過程中被x軸分成兩個部分，若上下兩部分的面積之比為1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8），求頂點A的坐標．
（3）△ABC在運動過程中，當頂點B落在坐標軸上時，求頂點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質，求出當點A與原點重合時C點的坐標，再將C點的坐標代入拋物線的解析式就可以判斷點C是否在拋物線上．
（2）由于在移動的過程中在x軸上方的三角形始終與原三角形相似，當上下兩部分的面積之比為1：8時，則上部分的面積與三角形的面積之比為1：9，利用相似三角形的性質可以求出其頂點坐標．
（3）由題意可知三角形在移動中點B落在坐標軸上有三種情況，根據三種不同的位置情況和等邊三角形的性質利用等邊三角形變的長度求出B點的坐標．

解答：解：（1）當點A與原點重合時，根據等邊三角形的得到點C的坐標為（

3

，-3）
當x=

3

時，代入拋物線的解析式得：y=-3
∴點C的坐標滿足拋物線的解析式
∴點A運動至原點重合時，點C是在該拋物線上．

（2）設點A的坐標為（x，y），y＞0，△ABC與軸相交于點M、N
∵S_△AMN：S_{四邊形BCNM}=1：8
∴S_△AMN：S_△ABC=1：9
∵BC∥x軸
∴△AMN∽△ABC
∴

S△AMN

S△ABC

=(

y

3

)2=

1

9

∴y=1
∵點A在拋物線上
∴1=x2-2

3

x
解得：x1=

3

+2，x2=

3

-2
∴A的坐標為：（

3

+2，1），（

3

-2，1）

（3）第一種情況：點B落在X軸上，即BC與x軸重合
∴點A的縱坐標為3，代入解析式求得點A的橫坐標：
x1=

3

+

6

，x2=

3

-

6

∴點C的橫坐標為：x1=2

3

+

6

，x2=2

3

-

6

∴點C的坐標為：（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0）
第二種情況：點B在y軸上，由圖得點A的橫坐標為：x=

3

，將其代入拋物線的解析式為
y=3-6=-3
∴點C的縱坐標為-6，橫坐標為：2

3

∴C（2

3

，-6）
綜上所述，點C的坐標為：
（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0），（2

3

，-6）

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了等邊三角形與拋物線的關系，運用了等邊三角形的性質，相似三角形的判定及性質．