Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點C是⊙O上一點（不與A，B重合），連接AC，BC，過點O作OD∥AC交BC于點D，在OD的延長線上取一點E，連接EB，使∠OEB=∠ABC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若OA=10，BC=16，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由AB是半圓O的直徑可以得到∠ACB=90°，由OD∥AC利用平行線的性質可以得到∠EDB=90°，而∠OEB=∠ABC，由此可以證明∠ABC+∠DBE=90°，最后利用切線的判定即可證明題目的結論；
（2）首先利用勾股定理可以求出線段BC的長度，同時可以利用已知條件證明△ACB∽△OBE，然后利用相似三角形的性質和已知條件即可求解．
解答：（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB=90°，
∴∠OEB+∠DBE=90°，
而∠OEB=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，∵OB為半徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知道△ABC是直角三角形，
∴AC==12，
∵∠OEB=∠ABC，∠OBE=∠C=90°，
∴△ACB∽△OBE，
∴OB：AC=BE：BC，
而OA=10，BC=16，
∴10：12=BE：16，
∴BE=．
點評：此題主要考查了圓的切線的性質與判定，也利用相似三角形的性質與判定解決問題，解題時首先利用已知條件證明切線，然后利用相似三角形的性質解決問題．