Question

某物資站新進60噸散裝貨物，為了獲取更多的利潤，該物資站決定將其包裝后再出售，根據市場調查，該物資站決定將其包裝成3噸和2噸兩種包裝（貨物要全部包裝，不留余貨）其中3噸裝和2噸裝的包裝成本分別是80元/件和60元/件，根據市場需要，2噸包裝的貨物總量不少于40噸．
（1）若該物資站要求包裝成本不少于1700元，但又不多于1800元，則該物資站有幾種不同的包裝方案？
（2）怎樣設計包裝方案才能使包裝成本最低？最低成本是多少元？
（3）在除去各項成本后，若每個3噸包裝的物資售出后可獲利270元，每個2噸包裝的物資售出后可獲利200元，在這批包裝后的貨物全部售出的情況下，該物資站應怎樣安排包裝方案，才能使所獲的利潤最大？最大利潤是多少元？此時的包裝成本是多少元？

Answer 1

分析：（1）首先用未知數表示出包裝為2噸的件數，然后根據兩種包裝的總重量為60噸，來表示出包裝為3噸的件數；然后根據“包裝成本不少于1700元，但又不多于1800元”以及“2噸包裝的貨物總量不少于40噸”，列出不等式組，求出未知數的取值范圍，由于件數必須使正整數，可據此求出x的整數值，從而確定出有幾種包裝方案．
（2）根據（1）得到的包裝方案以及題目給出的各種包裝的單件成本，列式求出各種方案所需成本，即可得到包裝成本最低的方案以及成本的最低值．
（3）根據（1）得到的包裝為2噸、3噸的件數表達式，結合各種包裝的單件獲利額，即可表示出兩種包裝總的獲利額，由此得關于總的獲利額和（1）所設未知數的函數關系式，根據函數的性質即可確定出獲利最多的包裝方案以及能夠獲取的最大利潤．

解答：解：（1）設2噸裝x件，3噸裝的

60-2x

3

件
由題意，得

1700≤60x+ 60-2x 3 ×80≤1800 2x≥40

解得，20≤x≤30，∵

60-2x

3

是正整數，
∴有三種包裝方案：
①x=21，y=6，②x=24，y=4，③x=27，y=2．

（2）∵21×60+6×80=1740，
24×60+4×80=1760，
27×60+2×80=1780，
∴2噸裝21件，3噸裝6件成本最低，最低成本1740元．

（3）設利潤為W元，則W=200x+270×

60-2x

3

=20x+5400；
∴當x=27時，W_最大=20×27+5400=5940；
答：應用方案③：2噸裝27件，3噸裝2件獲利最大，最大利潤5940元，此時包裝成本1780元．

點評：此題主要考查了一元一次不等式組的實際應用以及二次函數最值的應用，難度較大．