Question

如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C，拋物線y=-x²+bx+c經過點B、C，點A是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線上一點，且S_△ABP=S_△ABC，這樣的點P有______個．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線BC的解析式，可求得B、C的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定拋物線的解析式；
（2）令拋物線的解析式中y=0，即可求出A點的坐標，以AB為底，OC為高即可得到△ABC的面積；
（3）△ABP和△ABC同底，那么面積比等于高的比，所以P點到AB的距離是OC長的一半，由此可求出P點縱坐標的絕對值，在x軸上、下方的拋物線上各有兩個符合條件的P點，所以共有4個．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3經過B、C兩點，∴B（3，0），C（0，3）；
已知拋物線經過B、C兩點，則有：
，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）令（1）所得的拋物線中y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3；
S_△ABC=AB•OC=×4×3=6；

（3）∵S_△ABC=AB•OC，S_△ABP=AB•|y_P|，且S_△ABP=S_△ABC，
∴|y_P|=OC=1.5，
即P點的縱坐標為±1.5；
由函數的圖象知，符合條件的P點共有4個．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及三角形面積的求法．