Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，E是BC延長線上一點，AE交CD于點G，F是AE上一點，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．
（1）求∠ACF的度數；
（2）證明：矩形ABCD為正方形．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠DAG=∠AEB=15°，
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠AEB=15°，
∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°，
∵AC=CF，
∴∠FAC=∠AFC=30°，
∴∠ACF=18O°﹣∠FAC﹣∠AFC=120°；
（2）由（1）知∠DAG=15°，∠FAC=30°，
∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD為正方形．
【解析】（1）利用矩形的性質可得∠DAG=∠AEB=15°，利用外角的性質和等腰三角形的性質可得∠AFC與∠CAF的度數，可得∠ACF；
（2）由∠DAG=15°，∠FAC=30°，易得∠DAC=45°，可得∠ACD=∠DAC=45°，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理證得結論．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．