Question

如圖，已知拋物線與軸交于點，，與y軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由

Answer 1

（1）(1,9)
（2）點P坐標為 （2，）解析:
解：（1）設該拋物線的解析式為，
由拋物線與y軸交于點C（0，8）,可知c="8."
即拋物線的解析式為．               …………………1分
把，，代入, 得
解得.
∴ 拋物線的解析式為   ……………………………………………3分
∴ 頂點D的坐標為(1,9).       ……………………………………………………2分
（2）設OB的垂直平分線交x軸于點H，直線CD交線段OB的垂直平分線于點F，
直線CD的解析式為
∴ ,,即直線CD的解析式為
∴ 點E坐標為 （-8，0）, 點F坐標為 （2，10）,EH=FH=10，EF=10…2分
假設線段OB的垂直平分線上存在點P，那么令點P坐標為 （2，m），
過點P作PQ⊥CD交CD于點Q，則有OP=PQ=，PF= ……2分
由題意知，Rt△FPQ∽Rt△FEH．     
∴．∴
解得               ……………………………………………1分
∴ 點P坐標為 （2，）， ……………………………………………1分