Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AC是⊙M的直徑，過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)D，連接BC，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

3

)，直線CD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+5

3

．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和BC的長；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和⊙M的半徑；
（3）求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

3

)，直線CD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+5

3

，D在x軸上，可求出OM=

3

，D（5，0），又因過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，利用垂徑定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位線可得OM=

1

2

BC，BC=2

3

；
（2）因?yàn)锽C=2

3

，所以可設(shè)C（x，2

3

），利用直線CD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+5

3

．可得到y(tǒng)=-

3

x+5

3

=2

3

，即求出C（3，2

3

），利用勾股定理可得AC=

AB2+BC2

=4

3

，即⊙M的半徑為2

3

；
（3）求出BD=5-3=2，BC=2

3

，CD=

CB2+BD2

=4，AC=4

3

，AD=8，CD=4，

AD

CD

=

CD

BD

=

AC

BC

，可得△ACD∽△CBD，
所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切線．

解答：（1）解：∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

3

)，直線CD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+5

3

，D在x軸上，
∴OM=

3

，D（5，0）；
∵過圓心M的直徑⊥AB，AC是直徑，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=

1

2

BC，
∴BC=2

3

．

（2）解：∵BC=2

3

，
∴設(shè)C（x，2

3

）；
∵直線CD的函數(shù)解析式為y=-

3

x+5

3

，
∴y=-

3

x+5

3

=2

3

，
∴x=3，即C（3，2

3

），
∵CB⊥x軸，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC=

AB2+BC2

=4

3

，
即⊙M的半徑為2

3

．

（3）證明：∵BD=5-3=2，BC=2

3

，CD=

CB2+BD2

=4，
AC=4

3

，AD=8，CD=4，
∴

AD

CD

=

CD

BD

=

AC

BC

，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直徑，
∴CD是⊙M的切線．

點(diǎn)評(píng)：解決本題需用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．