Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t＝1 s時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM＝2AM時(shí)，求t（s）的值；

（3）連接CQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝3；（3）．

【解析】試題分析：（1）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由O、P、A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）用t可表示出BP和AQ的長(zhǎng)，由可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上，且點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長(zhǎng)，由S=S四邊形BCQM=S矩形OABC-S△COQ-S△AMQ，可求得S與t的關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)Q在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M，利用可用t表示出AM，從而可表示出BM， ，可求得答案．

試題解析：（1）依題意得，A（4 ，0），B（4，3）．

當(dāng)t＝1 s時(shí)，CP＝2，

設(shè)經(jīng)過(guò)O、P、A三點(diǎn)拋物線的解析式為y＝ax（x－4），將P（2，3）代入解析式中，則有

2×（2－4）a＝3，

【一題多解】依題意得，A（4，0），B（4，3）．

當(dāng)t＝1 s時(shí)，CP＝2，∴P（2，3）．

設(shè)經(jīng)過(guò)O、P、A三點(diǎn)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，將O，P，A三點(diǎn)代入得

解得：

∴拋物線的解析式為

（2）如解圖①，設(shè)線段PQ與線段BA相交于點(diǎn)M，依題意有：CP＝2t，OQ＝t，

∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．

∵CB∥OA，

∴△BMP∽△AMQ，

∴BP＝2AQ，即2t－4＝2（4－t），∴t＝3；

（3） 當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如解圖②，

當(dāng)2＜t≤4，如解圖③，設(shè)線段AB與線段PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CP于點(diǎn)N，則△BDP∽△NQP，

又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，

∴S＝S四邊形CQDB＝S△CQP－S△BDP，

③圖④

當(dāng)t＞4時(shí)，如解圖④，設(shè)線段AB與線段CQ相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CP于點(diǎn)N，則△CBM∽△CNQ，

又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，

∴S=.